Questão 1 - TESTE Nova variação - IME 2025

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Gabarito

Geral
1. 1S/A
2. 2B
3. 3B
4. 4DIS
5. 5DIS
6. 6A
7. 7B
8. 8B
9. 9B
10. 10S/A
11. 11B
12. 12DIS
14. 14S/A
15. 15DIS
16. 16B
17. 17S/A
18. 18A

Questão ativa
Já visualizadas
Não visualizadas
Resolução pendente
ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 1

Objetiva

O conjunto de todos os valores $a \in ℝ {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$ para os quais a equação $9^{x} - (3 a + 4) 3^{x} + 2 a^{2} + 9 a - 5 = 0 {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$ tem duas soluções reais distintas é

Alternativas

A
$(6, \infty) {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$ .
B
$(\frac{1}{2}, \infty) \ \{6\} {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$ .
C
$(\frac{3}{2}, \infty) \ \{6\} {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$ .
D
$ℝ \ \{6\} {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$ .
E
$ℝ {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$ .

Gabarito:
S/A

Analisando a equação, fazendo $3^{x} = y > 0 {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$ , percebe-se que: $y^{2} - (3 a + 4) y + 2 a^{2} + 9 a - 5 = 0 {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$

Ao analisar o $∆ {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$ , tem-se:

$∆ = {(3 a + 4)}^{2} - 4 (2 a^{2} + 9 a - 5) = a^{2} - 12 a + 36 = {(a - 6)}^{2} \geq 0, \forall a \in ℝ {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$

Para que haja $y_{1} \neq y_{2} : ∆ > 0, logo, a \neq 6 (condição I) {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$

E, para que haja $y_{1}, y_{2} > 0 : {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$

$y_{1, 2} = \frac{3 a + 4 \pm (a - 6)}{2} \Rightarrow y_{1} = 2 a - 1 > 0 \Rightarrow a > \frac{1}{2} {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$ (condição II), e

$y_{2} = a + 5 > 0 \Rightarrow a > - 5 {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$ (condição III)

De (I), (II) e (III): $a > \frac{1}{2} e a \neq 6 {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$ .

Desse modo, $a \in (\frac{1}{2}, + \infty) \ \{6\} {"fontSize":"16px","fontFamily":"Arial"}$

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